정절선(正切線)

수학의 삼각함수 중에서 탄젠트 함수 값.

개설

정절선(正切線)은 16세기 말부터 중국에서 활약한 유럽의 예수회 선교사들에 의해 중국으로 전해진 삼각함수 가운데 하나로 탄젠트 함수이다.

내용 및 특징

위의 그림은 반지름이 1인 단위원 OAB에 여러 가지 직선을 그린 것이다. 직각삼각형 OPR에서 OP=1이므로 삼각함수의 정의에 따라, sin x ≡ 높이 ÷ 빗변 = PR ÷ OP = PR, cos x ≡ 밑변 ÷ 빗변 = OR ÷ OP = OR이다. 도형 PRA는 활꼴[arc]의 절반에 해당하며, PR은 활의 시위인 현(弦, [chord])에 해당하므로 정현(正弦)이라고 이름을 붙인다. 한편, OR은 정현에 대해 보조적으로 나오며 sin x = cos(90° - x)의 여각 관계에 있으므로 여현(餘弦)이라는 이름을 붙였다.

삼각형 OAT도 직각삼각형이고 OA=1이므로, tan x ≡ 높이 ÷ 밑변 = AT ÷ OA = AT이다. 선분 AT는 원호 위의 한 점 A에서 접하므로 접한다는 의미의 탄젠트(tangent) 값이라고 하였다. 동양에서는 이것을 정접(正接) 또는 정절(正切)이라고 하였다. 한편, 삼각형 OPD와 삼각형 OSB는 닮음이다. 그러므로 닮음비가 일정해야 하므로 OD : OB = DP : BS이다. OD = PR이고 OB = 1이므로, PR : 1 = DP : BS이다. 이것을 비율로 나타내면, BS = DP ÷ PR = OR ÷ PR = cos x ÷ sin x = cot x이다.

∠SOB=(90° - x)이고 tan(90° - x) = cot x의 여각 관계가 있으므로, 선분 BS는 탄젠트와 여각 관계에 있는 코탄젠트(cotangent) 값임을 알 수 있다. 그래서 cot x를 여접(餘接) 또는 여절(餘切)이라고 번역하였다.

삼각형 OPR과 삼각형 OTA는 닮음이다. 따라서, PR : AT = OP : OT의 닮음비가 성립한다. 앞에서 보았듯이 PR = sin x이고 AT= tan x이며, OP = 1이므로 이 비례식은 sin x : tan x = 1 : OT가 되고, 따라서 OT = tan x ÷ sin x = 1 ÷ cos x = sec x가 된다. 선분 OT는 원과 두 점에서 만나는 직선을 의미하는 secant line이므로 시컨트(secant)라는 함수 이름을 붙였고, 동양에서는 이것은 할선(割線)이라고 번역되므로, sec x를 정할(正割)이라고 번역하였다. 삼각형 OPD와 삼각형 OSB는 닮음이므로 OD : OB = OP : OS의 관계가 성립한다. OD = PR이고 OB = OP = 1이므로, PR : 1 = 1 : OS의 관계가 성립한다. 따라서, OS = 1 ÷ PR = 1 ÷ sin x = cosec x가 된다. 동양에서는 이 함수를 여할(餘割)이라고 번역하였다.

또한, 활꼴 PRA에서 화살에 해당하는 RA는 RA = OA - OR = 1 - cos x가 되는데, 이것이 versine 함수이고 versin x ≡ 1 - cos x라고 쓴다. 동양에서는 이것을 정시(正矢)라고 번역하였다. 또한 위의 그림에서 DB = OB - OD = 1 - PR = 1 - sin x가 되는데 이 값을 coversine 함수라고 하고, covers x ≡ 1 - sin x로 정의한다. 이것을 동양에서는 여시(餘矢)라고 정의하였다.

위와 같이 정현, 여현, 정절, 여절, 정할, 여할, 정시, 여시 등을 정의하는 여덟 가지 선을 팔선(八線)이라고 하며, 각도에 따라 그 값을 미리 계산하여 적어 놓은 표를 팔선표(八線表)라고 한다.

정절선은 전문 용어이기 때문에 『조선왕조실록』에는 단 한 차례 나온다. 1791년(정조 15)에 팔도의 관찰사 치소가 있는 곳의 위도와 동서편도를 정하여 각지의 절기시각 및 일출몰시각을 계산하는 과정 중에 그 지방의 위도에 해당하는 북극고도(北極高度)의 정절선 및 그날 태양의 위도(緯度)에 대한 정절선을 계산한다는 언급이 있다(『정조실록』 15년 10월 11일). 시헌력에서 절기시각, 일출몰시각, 박명 시각 등을 계산할 때 구면삼각법[spherical trigonometry]을 사용하기 때문에 이러한 삼각함수의 사용이 많다. 조선후기에는 이러한 계산 방법을 익히지 못해 박명 시각에 해당하는 몽영한(蒙影限)을 계산하지 못하다가 1789년에 김영(金泳)이라는 천문학자가 이러한 계산법을 이해하고 역법에 적용하기 시작한 것으로 알려져 있다(『정조실록』 13년 8월 21일).

참고문헌

• 『국조역상고(國朝曆象考)』
• 안상현, 『세상에서 가장 아름다운 기하학 뉴턴의 프린키피아』, 동아시아, 2015.