자행도(自行度)

임의의 날의 평균태양의 원지점이각(遠地點離角).

개설

자행도(自行度)는 태양운동과 행성 운동에서 각각 다른 의미로 사용된다. 태양에서의 자행도는 임의의 날의 원지점으로부터 태양까지의 각거리로 평균태양의 원지점이각이다. 그런데 행성의 자행도는 약간 다르다. 행성은 달 운동과 마찬가지로, 지구의 관측자 위치에서 보았을 때, 지구가 중심인 이심원의 주위를 도는 작은 원인 소륜(小輪) 위를 움직이고 있다. 이 소륜 상에서 행성이 기준선에 대해 움직인 각도를 바로 행성의 자행도라고 한다. 행성에서는 작은 주전원을 소륜이라고 하는데 반해, 달의 항목에서는 이 작은 주전원을 본륜이라고 하였다.

자행도는 흔히 자행궁도라고 표현되기도 한다. 자행궁도는 자행도를 궁과 분으로 나타내주는 값이다. 1궁은 30도이므로, 자행도가 30도를 넘으면 궁으로 표시한다. 한 예로 자행도가 80도라고 하면 자행궁도는 2궁 20도이다.

내용 및 특징

1) 태양의 자행도

태양의 자행도는 임의의 날의 원지점에서 태양까지의 각거리로 평균태양의 원지점이각이다. 따라서 이 값은 임의의 날(A일)의 중심행도에서 최고행도를 빼줌으로써 구할 수 있다.

A일의 자행도 ＝ A일의 중심행도 － A일의 최고행도

i) 합삭 때 태양 자행도

일식이 일어나는 때인 합삭 때의 태양 자행도는 당일 정오의 태양 자행도와 다음 날 정오의 태양 자행도 사이에서 합삭 때의 값을 보간해주는 것이다. 1일의 하루 동안 태양의 평균 이동량은 59′08″이고, 합삭 시각까지의 값을 알면 내삽법으로 구할 수 있다. 즉 이 값은 합삭 때의 태양과 태양 원지점 사이의 황경차로 볼 수 있다. 합삭이 오전이면 정오의 태양 자행도에서 빼고, 합삭이 오후이면 더해준다.

합삭 때의 태양 자행도 ＝ 정오의 태양 자행도 ± 1일 태양행도 × (식심범시/24)

ii) 망일 때의 태양 자행도

일식과 달리 월식에서는 망일 때의 태양 자행도의 값을 구한다. 망일 정오의 태양 자행도를 구한 후, 식심범시에 따른 자행도의 변화량을 가감해주는데, 망이 오전에 있으면 정오의 태양 자행도에서 빼주고, 망이 오후에 있으면 더해준다. 평균태양의 1일 이동량은 59′08″ 즉, 3548″이다.

망일 때의 태양 자행도 ＝ 망일 정오의 태양자행도 ± 1일 태양자행도 × (식심범시/24)

<태양 자행도의 활용>

(1) 태양의 경도(經度)을 구할 때, 자행도를 자행궁도로 표시한 값을 인수로 한 표로부터 평균 중심행도를 보정해주는 가감차의 값을 구해서 사용한다.

(2) 태양경분(太陽徑分)과의 관계

태양경분은 태양의 시직경(視直徑)으로 정의된 것이다. 따라서 원일점에서는 작아지고, 근일점에서는 커진다. 현대 천문학에서 태양의 평균 각반경은 31′59″.26이다. 이 값은 태양의 자행도를 인수로 한 표 ‘태양태음영경분과 비부분의 표’로부터 구할 수 있다.

이 표의 인수인 태양 자행궁도는 6도 간격으로 되어 있으므로, 실제 자행궁도의 값보다 작은 값과 큰 값의 자행궁도를 이용해 그에 따른 태양경분값을 구해 실제 태양 자행도에 대해 비례 보간한다. 합삭 때의 태양 자행도를 n° + △n(△n < 6°)이라고 하고 이 SR(n)이 n°의 태양경분값이라고 하면 다음과 같이 구할 수 있다.

SR(n + △n) = SR(n) ± [{SR(n + 6) - SR(n)} × △n ÷ 6]

(3) 달의 비부분값 찾기

달의 거리는 주전원 운동을 하고 있는 달의 본륜행도에 따라 달라진다. 이 달라지는 값에 따르는 시차를 보정해주는 값이 이 비부분이다. 합삭 때의 본륜행도, 또는 달의 자행궁도를 인수로 하여, ‘태양태음영경분의 비부분의 표’에서 비부분의 값을 구한다. 인수가 6도 간격으로 되어있으므로, 그 행 f(n)과 그 다음 행인 f(n + 6)의 비부분값의 차이를 구해 비례보간법으로 계산하여 구한다.

(4) 달의 영경감차

달의 영경감차는 지구의 그림자의 시직경이 변화하는 양이다. 망이 될 때, 달의 거리에서의 지구 그림자의 시직경은 태양이 가장 멀 때인 자행도가 0°일 때 가장 크다. 그리고 태양이 근일점에 가까워짐에 따라 점점 작아지다가 180°을 넘으면 다시 커진다. 이 지구 그림자의 시직경이 변화하는 양이 바로 달(태음)의 영경감차이다. 이 값을 구할 때에도 태양 자행궁도를 인수로 ‘태양태음영경분의 비부분의 표’에서 비례 보간하여 구한다.

(5) 이외에도 달의 경분값, 달의 영경분의 값도 ‘태양태음영경분의 비부분의 표’에서 자행도를 인수로 하여 구한다. 달의 영경분은 망 때 달의 위치에 생기는 지구 그림자의 시직경이다.

2) 5행성의 자행도

5행성은 달 운동과 마찬가지로, 지구의 관측자의 위치에서 보았을 때, 지구가 중심인 이심원의 주위를 도는 작은 원인 소륜 위를 움직이고 있다. 이 소륜 상에서 행성이 기준선에 대해 움직인 각도를 행성의 자행도라고 한다. 행성에서는 작은 주전원을 소륜이라고 하는 데 비해, 달의 항목에서는 이 작은 주전원을 본륜이라고 하였다. 자행도의 기준선은 그림 2에서 대원의 중심 O에서 OE만큼 반대로 떨어진 F에서 주전원의 중심 B로 그은 직선의 연장이 소륜과 만나는 점 X까지의 연장선이다. 이때 BX를 기점으로 한 행성 P까지의 회전 각도 ∠XBP가 자행도이다.

5행성의 자행도는 자행궁도값으로 구할 수 있는데, ‘오성 최고행도 및 자행도의 표’로부터 구할 수 있다. 이 표는 아라비아력에서 도입된 것이므로 자행도를 나타내는 표의 총년 1년은 헤지라 기원의 값으로 추론된다. 각 행성의 자행도값은 ‘오성 최고행도 및 자행도의 표’로부터 구하려는 시기의 총년, 영년, 월분, 일분의 값을 더해주어 구한 후, 표 1의 보정치를 더해주어 구한다. 이 보정치는 『칠정산외편』의 표가 아라비아력의 계산 기점인 헤지라 기원이 기점이므로, 『칠정산외편』의 계산 기점인 598년으로 바꾸어주기 위해 필요한 값으로, 두 계산 기점 사이의 변화량이다.

표 1의 ‘1일 자행도 변화량’은 『알마게스트』에 수록되어 있는 값이다. 이 값은 프톨레마이오스가 히파르코스의 관측치를 기초로 하여 계산하고 정리한 값이다.

<5행성 자행도의 활용>

(1) 외행성의 소륜심도를 구할 때 사용한다. 소륜심도는 지구의 원지점에서 행성의 주전원의 소륜의 중심까지의 이각으로 소륜 중심의 원지점이각이다. 이것은 태양의 중심행도에서 각 행성의 자행도를 빼주어 각 행성의 중심행도를 구하고, 이 값에서 다시 각 행성의 최고행도를 빼주어야 한다.

소륜심도 ＝ 태양의 중심행도 － 행성의 자행도 － 행성의 최고행도

(2) 유일 구하기

행성이 유(留)가 되는 날은 자행정도를 이용해 구한다. 자행정도는 자행도에 가감차를 더해서 구하는 값이다.

(3) 유일 자행도

유일 자행도는 그날의 행성 자행도에서 유가 되는 날까지의 각 행성 자행도를 가감하면 구할 수 있다. 유일이 그날 전후에 있을 때에는 그 사이의 일수에 따라 계산하되 유일이 그날 이전이면 빼주고 그날 이후이면 더해준다. 각 행성의 자행도는 ‘오성 최고행도 및 자행도의 표’에서 각 행성의 1일 자행도를 구하고, 이 값에 그날부터 유일까지의 일수를 곱해주어 구한다.

(4) 오행성의 황도남북위도 구하기

행성의 위도를 구하는 ‘오성황도남북위도표’는 소륜심정도(s)와 자행정도(n)의 두 인수의 함수로 되어 있다. 자행정도는 자행도에 가감차를 더해주어 구한다.

참고문헌

• 안영숙, 『칠정산외편의 일식과 월식 계산방법 고찰』, 한국학술정보, 2007.
• 유경로·이은성·현정준 역주, 『세종장헌대왕실록』 「칠정산외편」, 세종대왕기념사업회, 1990.
• Toomer, G. J., Ptolemy's Almagest, Princeton Univ. press(New jersey). 1998.